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By Andreas Gathmann

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Example text

Die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit M/ ∼ := {a : a ∈ M}. 3. (a) Die einfachste Äquivalenzrelation ist die Gleichheitsrelation auf einer beliebigen Menge M, für die genau dann a ∼ b gilt, wenn a = b ist. 2 (b) sind hierfür offensichtlich erfüllt. Für alle a ∈ M ist in diesem Fall a = {a}: jedes Element a ist nur zu sich selbst äquivalent; es werden keinerlei verschiedene Elemente miteinander identifiziert. 1 (b) in unserer neuen Sprache zu formulieren, definieren wir auf M = N die Relation m∼n :⇔ ⇔ m und n haben die gleiche Endziffer m − n ∈ 10 Z für m, n ∈ N.

15. 11 von Lagrange besagt bekanntlich, dass die Ordnung jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe G ein Teiler von |G| sein muss. Wir wollen nun in zwei einfachen Fällen die umgekehrte Fragestellung untersuchen, ob es zu jedem Teiler von |G| auch eine Untergruppe dieser Ordnung geben muss. Zeige dazu für eine endliche Gruppe G: (a) Ist 2 ein Teiler von |G|, so besitzt G ein Element der Ordnung 2 (und damit auch eine Untergruppe der Ordnung 2). (b) Ist G abelsch und 2n ein Teiler von |G| für ein n ∈ N, so hat G eine Untergruppe der Ordnung 2n .

Formal bedeutet das einfach, dass wir die Zahl 15 mit der Zahl 5 identifizieren wollen (oder allgemeiner, dass wir zwei natürliche Zahlen miteinander identifizieren wollen, wenn sie die gleiche Endziffer haben). Statt mit den eigentlichen natürlichen Zahlen wollen wir dann mit den „Klassen von Zahlen“ nach dieser Identifikation weiter rechnen. Wir wollen diese Idee nun in ein mathematisch exaktes Konzept umwandeln und müssen dazu zunächst einmal sagen, wie man es formalisieren kann, dass gewisse Elemente einer Menge „als gleich angesehen werden sollen“.

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