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By Coutinho S C

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EXERCíCIOS 31 Exemplo 5. Seja L a linguagem no alfabeto {a, b, c} formada pelas palavras da forma ai bj cr para as quais i, j, r ≥ 0 e, se i = 1 então j = r. Mostraremos que a única palavra de L que não admite uma subpalavra bombeável é . Há dois casos a considerar. No primeiro, i = 1 e j e r não são ambos nulos. Neste caso a subpalavra bombeável é y = b se j = 0 ou y = c se r = 0. O segundo caso consiste em supor que i = 1, ou que i = 1 mas j = r = 0. Desta vez podemos tomar y = a como sendo a palavra bombeável.

Em primeiro lugar, como é aceita por construção, podemos limitar nossa discussão a uma palavra w = que pertença a Σ∗ . Como em nossa discussão do autômato que aceita a união de linguagens, isolaremos duas propriedades da definição de M∗ que serão utilizadas na demonstração. Em primeiro lugar, se (q1 , σ) (p, ) em M, então existirão transições em M∗ da forma (q0 , σ) (p, ), e, também, da forma (f, σ) (p, ) para cada estado final f de M. Que q0 comporta-se como se fosse q1 é óbvio da maneira como suas transições foram definidas.

Finalmente, é mais fácil construir um modelo não determinístico de Mc , já que não temos como saber exatamente onde acaba o prefixo de w que pertence a L(M). Nossa experiência com a união deixa claro que não adianta conectar os autômatos através de transições de um estado final de M para o estado inicial de M . Isto só seria possível se nossos autômatos pudessem efetuar transições sem consumir nenhum símbolo da entrada. Contornamos o problema, como fizemos no caso da união, construindo as transições diretamente dos estados finais de M para os sucessores do estado inicial de M .

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